S=1/2PF₁PF₂sinα
=b²sinα/(1-cosα)
=b²cot(α/2)
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)²=(2a)²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)²-(2a)²]/2(1-cosα)
=2b²/(1-cosα)
1、双曲线焦点三角形的面积公式 推导：设∠F₁PF₂=α 双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1 因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a 在焦点三角形中,由余弦定理得 F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα =|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα (2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα) =2b^2/(1-cosα) 焦点三角形的面积公式 =1/2PF₁PF₂sinα =b^2sinα/(1-cosα) =b^2cot(α/2) =b^2/tan（θ/2）
2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P点在双曲线右支时,切点为右顶点
双曲线焦点三角形基本公式 扩展
双曲线焦点三角形的基本公式为：A(x - x1)² + B(y - y1)² = C(x - x2)² +D(y - y2)²，其中A,B,C,D是常系数，x1,y1,x2,y2是焦点的坐标。因此，由于双曲线的焦点三角形的公式是由四个参数组成的，所以可以根据四个参数来求出双曲线焦点三角形的面积。
双曲线焦点三角形基本公式 扩展
双曲线焦点三角形公式：PF₂sinα=b^2sinα/(1-cosα)=b^2cot(α/2)，一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点叫做焦点的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处
